Dakle, euklidske mjere, duljina, dubina i debljina, ne obuhvaćaju bit nepravilnih oblika od kojih se priroda zapravo i sastoji. Dodajemo stoga i dimenziju - zemljopisnu duljinu, širinu i nadmorsku visinu kako bismo odredili položaj neke točke u ovom trodimenzionalnom svijetu. (Ovdje još uvijek govorimo o nasljeđu Euklidske geometrije).

 

Fraktal planine Mandelbrot, proučavajući nepravilnosti prirode pritom zaklučuje kako te nepravilnosti često ispadaju vrlo pravilne. Za naziv, kojim bi obuhvatio svoje likove, dimenzije i geometriju kojom se služio, odabrao je latinski naziv fraktus za pridjev razlomljen ( od glagola frangere - razlomiti) te je stoga stvorio naziv fraktal.

 

"Fraktal je način promatranja beskraja."

 

"Zamislimo trokut sa svakom stranicom dugom 30cm, zatim zamislimo određenu transformaciju - dobro određen, lako ponovljivi skup pravila. Uzmimo srednju trećinu svake stranice i dodajmo na nju novi trokut, jednak oblikom, ali trećinom veličine. Rezultat je Davidova zvijezda. Umjesto tri stranice od trideset centimetara, ovaj lik sada ima dvanaest stranica od po deset cm. Umjesto tri, ima šest vrhova.

 

Zatim, uzevši svaku od tih dvanaest stranica napravimo istu transformaciju. To možemo ponavljati u beskraj. Obris postaje sve razrađeniji. Podsjeća na neku vrstu idelane snježne pahuljice. Poznat je po imenu Kochine krivulje - gdje je krivulja svaka povezana ravna ili zaobljena crta... To je neprekinuta petlja koja se nikad ne presijeca jer su novi trokuti na svakoj stranici uvijek dovoljno maleni da izbjegnu moguće sudare. Svaka transformacija dodaje nešto površine unutarnjosti krivulje, ali ukupna površina ostaje konačna, u stvari ne mnogo veća od izvornog trokuta. Opišemo li oko izvornog trokuta kružnicu, Kochina krivulja je nikad neće prijeći."

 

Nazivlje "Kochina pahuljica" potječe od imena Helge van Koch, švedske matematičarke koja ju je po prvi put opisala 1904. godine.

 

Temeljem ovakvih svojstava Kochine krivulje, mnogi su zamislili i druge likove. Tako Sierpinskijev sag nastaje izrezivanjem jedne devetine kvadrata, nakon čega slijedi izrezivanje središta osam manjih kvadrata i tako dalje. Trodimenzijska analogija je Mengerova spužva, tijelo čvrstog izgleda beskonačno velike površine, ali obujma jednaka ništici.

 

Korisnost Mandelbrotovih fraktala u razvrstavanju, opisivanju i mjerenju dijelova znanstvenog svijeta prepoznali su neki znanstvenioci poput Scholza, kojeg su veoma interesirale površine. Spoznaje fraktalne geometrije pomogle su znanstvenicima u proučavanju spajanja tvari, grananja i lomljenja. "To je način sagledavanja tvari: mikroskopski nazubljene površine metala, sitnih rupica i kanala porozne naftonosne stijene, razlomljenog krajolika trusnog područja."

 

Prema Scholzu, opisivanje površine Zemlje vrlo je komplicirano u tom pogledu što se u gornjem čvrstom dijelu tla nalaze površine sa svojim pukotinama i rasjedima koji toliko dominiraju da su postali ključem svakog dobrog opisa. "Oni upravljaju tokom fluida kroz tlo - protokom nafte, vode i prirodnog plina. Upravljaju ponašanjem potresa." Geofizičari su na površine gledali kao na geometrijske likove. Pritom površina može biti ravna, ili imati određeni oblik. Međutim, čak i ona površina koja ima izgled kakove krivulje, promatrana iz različitih kuteva i različitog gledišta otkriva sasvim nove informacije.

 

Promatranje površine kroz euklidsku geometriju je kao "promatranje svemira kroz crveni filtar- vidjeli bismo određenu valnu duljinu svjetlosti, ali i propustili sve što se događa na valnim duljinama drugih boja..."(Stolz)

 

Fraktalna geometrija omogućila je nove obzore prilikom promatranja površina Zemlje, kao i primjerice promatranja površine metala- fraktalne dimenzije mogu tako dati važne informacije o njegovoj čvrstoći.

 

Pravila u nepravilnostima fraktalne geometrije našla su mjesta i u promatranju dodira površina: primjerice kod dodira automobilske gume s asfaltom. Činjenice govore da se površine u dodiru ne dodiruju posvuda. To sprečavaju neravnosti na površinama. Tako i u kamenu koji se nalazi pod velikim pritiskom ipak ostaje pukotine i omogućen je prohod fluida.

 

Fraktalnu prirodu nalazimo i u primjeru krvih žila koje se granaju od aorti do kapilara - granaju se i granaju "dok ne postanu toliko uske da krvna zrnca moraju kroz njih klizati pojedinačno... Kao što Kochina krivulja ugura crtu beskonačne duljine u malu površinu, krvožilni sustav mora ugurati veliku površinu u ograničen obujam... Fraktalni ustroj prirode je izveo svoja djela tako uspješno da u većini stanica nikada nije više od tri ili četiri stanice udeljena od krvne žile."

 

 Fraktalni opisi ustroja ljudskog tijela dali su mnogima točniju sliku o stanju stvari. Počevši od promatranja bronhija, mokraćnog sustava, žući pa sve do srca "nekoliko kardiologa sklonih kaosu, ustanovilo je da frekvencijski spektar vremenskog usklađivanja kucanja srca, kao i potresi i pojave u gospodarstvu, slijedi fraktalne zakone i tvrdili su da jedan od ključeva za shvaćanje vremenskog usklađivanja kucanja srca je fraktalna organizacija His-Purkinjeove mreže, labirinta razgranatih putova organiziranih tako da su slične sebi u sve manjim i manjim mjerilima."

 

Postavlja se pitanje kako je priroda uspjela složiti tako složeni ustroj. Ipak, prema Mandelbrotu fraktali, razgranati ustroji, opisuju se jednostavnošću, s vrlo malo informacija koje se vjerojatno nalaze i u samom DNK - "ako genske upute govore o broju i veličini bronhija, zar se ne bi moglo odrediti i ponovljeni postupak bifurkacije i razvoja."

 

Govoreći o "sličnosti sebi" (selfsimilarity) govorimo o znanstvenom načelu koje je iščezlo pojavom fraktalne geometrije i razvojem tehnologije koja nam omogućuje pobliže promatranje. Naime, "sličnost sebi kao organizirajućeg načela proizašao je iz ograničenosti ljudskog iskustva s mjerilima. Kako drugačije zamisliti vrlo veliko i vrlo malo, vrlo brzo i vrlo sporo nego kao proširenje poznatoga. Mit je umro kad se ljudsko gledanje proširilo mikroskopom i teleskopom."

 

 "Pogledamo li primjer Newtonove metode primjenjene na traženje trećeg korijena od -1, vidimo podjelu ravnine na tri jednaka područja od kojih je jedan prikazan bijelom bojom. Sve bijele točke su privučene korijenu koji leži u najvećem bijelom području; sve crne točke privučene su jednom od preostala dva korijena. Granica ima neobično svojstvo da svaka točka na njoj graniči sa sva tri područja. I, kao što umeci pokazuju, povećani dijelovi otkrivaju fraktalni ustroj, ponavljajući temeljni uzorak na sve manjim mjerilima."

 

Mnogi fraktalni oblici mogu se stvarati ponavljanim postupcima na kompleksnoj ravnini, ali samo je jedan Mandelbrotov skup. Počeo se pojavljivati kad je Mandelbrot pokušao pronaći način uopćavanja u svezi s razredom oblika poznatih kao Julijin skup- "neki Julijini skupovi su poput krugova pričvršćenih i deformiranih na mnogim mjestima kako bi im se dala fraktalna struktura. drugi su razbijeni na zasebna područja, a treći su nepovezane mrvice. Ali ni riječi ni koncepti euklidske geometrije ne mogu ih opisati."

 

Francuski matematičar Douady je za Julijine skupove rekao: "neki su poput debelih oblaka, a drugi poput mršavog grma borovnica, neki izgledaju kao iskre koje plove zrakom nakon vatrometa: jedan ima oblik zeca, a mnogi imaju repove morskih konjica."

 

Mandelbrotov skup je zbirka točaka. Svaka točka na kompleksnoj ravnini, tj. svaki kompleksni broj, ili je u skupu ili izvan njega. Jedan od načina određenja skupa jest ispitivanje svake točke. "Kako bismo ispitali točku, uzet ćemo kompleksni broj, kvadriramo ga, dodamo prvobitni broj, kvadriramo rezultat- i tako dalje. Ako zbroj ode u beskonačno, onda točka nije u Mandelbrotovom skupu. Ako broj ostane konačan, onda jest."

 

 Na pitanje povezanosti spominjane fraktalnosti i ritmu u prirodi o kojem govorimo odgovorit će vam sljedeći primjer:

  Što je oblik fraktalniji, jednostavnija su njemu odgovarajuća pravila. Za Kochinu pahuljicu i Sierpinskijevu brtvu trebalo je ukloniti dijelove crta i zamijeniti ih određenim likovima.

 

Upotrijebivši umjesto toga igru kaosa, Michael Barnsey je izradio slike koje su započinjale kao zamagljene karikature i postajale sve jasnije. Nije bio potreban postupak ispravljanja: samo jedan skup pravila koji utjelovljuje konačni oblik.

 

Barnsey i njegovi suradnici krenuli su u program stvaranja slika. Ključno pitanje je bilo kako uz određeni lik odabrati skup pravila. Odgovor koji je on nazvao "teoremom kolaža" bio je tako silno jednostavno opisati da su mnogi smatrali da je riječ o triku.

 

Počinje se s crtanjem lika koji želimo reproducirati. Barnsey je za jedan od svojih prvih pokusa upotrijebio paprat. Zatim se koristeći računalni termin i miša za bilježenje točaka, preko izvornog lika dodaju njegove reducirane kopije koje se mogu i neuredno preklapati. Vrlo fraktalan lik može se lako oblikovati naslagama slojeva vlastitih kopija, manje frkatalan manje lako, ali svaki se lik može oblikovati slaganjem slojeva. Ako je slika složena, i pravila će biti složena. S druge strane, ako objekt ima fraktalni red u sebi, a znanstveno opažanje je da priroda često ima taj skriveni red, tad će ga biti moguće dekodirati sa svega nekoliko pravila. Model je tada zanimljiviji nego model izrađen prema euklidskoj geometriji jer znamo da kad gledamo rub lista biljke ne vidimo ravne crte.

 

 

Barnsley je tvrdio da priroda igra vlastitu inačicu kaosa. U sporu iz koje izrasta paprat može se smjestiti ograničena količina informacija. Dakle, postoji ograničenje razrađenosti do koje može izrasti paprat.

 

Nije čudno što možemo pronaći odgovarajuću sažetu informaciju kojom ćemo opisati tu paprat. Neki, s tim u skladu, smatraju da ćemo, jednog dana kada shvatimo kako je mozak organiziran, ostati začuđeni u postojanje sheme izgradnje mozga koja je zapravo vrlo jednostavna.

 

 

Zaključili bismo dakle da geometrija koju i dan danas uzimamo kao polazišnu ne daje prave odgovore kada je riječ o prirodi, njezinim oblicima i ritmu.

 

Čak i geometrijsku pravilnost koju su prepoznavali i arhitekti u svojim četvrtastim građevinama, zamijenili su novi pogledi. "Jednostavni oblici su nečovječni. Ne uspijevaju biti u skladu s načinom na koji se priroda sama organizira ili s načinom ljudskog viđenja svijeta."

 

Spoznaja ljudskog oka i misli ne staje na granicama "prihvaćenih" znanosti i stoga, dopustimo našem istraživačkom duhu da promatra prirodu i jedinstvenost njezina ritma i harmonije kroz nove spoznaje.

  

Možda bismo mogli završiti citatom autora knjige Kaos- rađanje nove znanosti, Jamesa Gleicka:

 

"Naš osjećaj lijepog je potaknut harmoničnim skladom reda i nereda svojstvenim prirodnim predmetima- oblacima, drveću, planinskim lancima ili kristalima snijega. Svi ti oblici su dinamički procesi pretopljeni u fizičke oblike, a posebne kombinacije reda i nereda tipične su za njih". 

    

Marina Gabelica