5.  OPŠTA TEORIJA RELATIVNOSTI

STR pokazala se veoma uspešna u objašnjavanju okolnosti da brzina svjetlosti izgleda ista svim posmatračima (kako je to pokazao Majklson-Morlijev eksperiment) i u opisivanju onoga što se događa kada se stvari kreću brzinama bliskim brzini svjetlosti. Ona je, međutim, bila nesaglasna sa Njutnovom teorijom gravitacije koja je tvrdila da se tijela međusobno privlače silom koja zavisi od razdaljine među njima. Ovo je značilo da ako neko pomeri dalje jedno od tijela, sila kojom ono dejstvuje na drugo istog trenutka bi se smanjila. Ili, drugim rečima, gravitaciona dejstva trebalo bi da se kreću beskrajnom brzinom, umesto brzinom svjetlosti ili ispod nje, kako je to zahtevala posebna teorija relativnosti. Ajnštajn je prijeduzeo više bezuspešnih pokušaja između 1908. i 1914. da dođe do teorije gravitacije koja bi bila saglasna sa teorijom relativnosti. Konačno, 1915, postavio je teoriju koju mi danas nazivamo Opšta teorija relativnosti (OTR).

5.1  PRINCIP EKVIVALENTNOSTI

U osnovi OTR leži jedno vrlo jednostavno, čak trivijalno zapažanje, to je tzv. princip ekvivalentnosti. Kada se neki putnik nalazi, u liftu ako lift krene naviše on ima osećaj kao da ga nešto dodatno pritiska prijema podu, ako nosi neki teret, teret  postaje  teži. Putniku se čini da su i on i teret otežali, a što je ubrzanje lifta teže će postajati teže.

 

I obrnuto, kad lift ubrzava naniže sve u njemu postaje lakše. U specijalnom slučaju, ako bi lift naniže ubrzavao ubrzanjem koje prijedmeti imaju kada slobodno padaju na Zemlju prijedmeti u liftu ne i uopšte imali težinu. Kada bi se lift ka Zemlji kretao sa još većim ubrzanjem, svaki prijedmet koji bi se u njemu našao bio bi pritisnut uz plafon lifta (treba napomenuti da se ovi efekti dešavaju samo kad lift ubrzava, usporava, kada se on kreće konstantnom brzinom ovi efekti se ne dešavaju). Zamislimo sada tog putnika u raketi koja polazi na međuzvijezdano putovanje. On u raketi nema težinu, jer je težina sila kojom neko masivno telo (u našem slučaju Zemlja) privlači neki prijedmet, a raketa se nalazi van dometa privlačenja, tj. van gravitacionog polja. Da ne bi plutao po raketi putnik mora da bude vezan za svoje sedište. Dok raketa bude ubrzavala ka dalekoj zvijezdi, svi putnici u njoj biće pritisnuti na naslone sedišta, a kad raketa uspori biće gurnuti naprijed (isto kao i u automobilu na Zemlji). Tom logikom će putnici u raketi povezati pritisak unazad sa ubrzanjem, a udar unaprijed sa kočenjem. Kad se raketa bude kretala konstantnom brzinom ovi efekti se neće javljati. Dok raketa leti konstantnom brzinom kroz međuzvijezdani prostor, prolazi pored jedne planete lutalice. Niko iz rakete ne vidi ovu planetu i malo je nedostajalo da udari u raketu dok je prolazila iza njenog repa. U trenutku prolaska ove planete putnici opet dobijaju težinu. Oni će to osetiti tako što će biti povučeni prijema planeti dok ona prolazi, tj. ka naslonima njihovih sedišta. Kako niko u raketi ne zna za planetu koja prolazi iza njih, a efekat je isti kao kad je raketa ubrzavala, svi će pogrešno zaključiti da je raketa ubrzala, niko čak neće u to da sumnja.

Osnovno pitanje u vezi ovog misaonog eksperimenta je da li ljudi u raketi mogu (bez gledanja napolje) da znaju šta se zapravo desilo, da li sile koje osećaju potiču od ubrzanja ili od gravitacionog privlačenja. Odgovor je da ne postoji način da se utvrdi razlika između ove dve sile. Ajnštajn je bio imprijesioniran ekvivalentnošću ubrzanja i gravitacione sile i iskazao je svoje zapažanje u obliku koji je danas poznat kao princip ekvivalencije i on glasi : u jednoj tački prostora efekti gravitacije i ubrzanog kretanja su ekvivalentni i ne mogu se međusobno razlikovati. Na osnovu principa ekvivalencije zaključuje se da je prividno povećanje težine putnika u liftu prouzrokovano ubrzavanjem lifta moguće izazvati i dodatnim gravitacionim silama. Ako bi se, na primer, lift sa putnicima prijebacio na Jupiter, putnici bi osetili mnogo težim (masa Jupitera je 300 puta veća od mase Zemlje). Čovjek koji na Zemlji ima 100 kg, na Jupiteru imao masu od 250 kg (ustvari, masa se neće promeniti ali čovjek će na Jupiteru imati isti osećaj kao kada bi na Zemlji imao masu od 250 kg). Ne znajući za prijemeštanje lifta, putnici bi povećanje svoje težine pripisali ubrzanju lifta, ne znajući da je povećanje težine izazvano povećanom gravitacionom masom. Ako bi lift, pak, bio prijemešten na Merkur gde sve ima tri puta manju težinu, putnici bi mislili da je to posledica toga što lift ubrzava naniže.

Na izgled princip ekvivalentnosti je vrlo jednostavno zapažanje. Međutim , tek Ajnštajn je skrenuo pažnju na ovaj zaključak. Da iz tog zaključka ništa drugo nije proizašlo, bio bi ocenjen kao zanimljiv i odmah zatim zaboravljen. Uz ovaj princip ekvivalentnosti, kao osnovni postulat OTR, Ajnštajn je primenio jednu granu matematike, koju je prijethodno razvio Riman, tj. tenzorski račun i došao je do tri važna zaključka od kojih je svaki eksperimentalno provjeren.

5.2  AJNŠTAJNOVA TEORIJA GRAVITACIJE

Razvijajući OTR, Ajnštajn je radio na razvoju teorije gravitacije. Zato se OTR naziva i Ajnštajnova teorija gravitacije. Najbitnija stvar koju je uspela da  odredi  Ajnštajnova teorije gravitacije, a Njutnova teorija nije mogla, bila je tačna  jednačina  za  putanje kojima planete putuju oko Sunca. Krajnji rezultat dobijen na osnovu OTR bio je približno isti kao kod Njutna ali ipak je postojala mala razlika. Ajnštajn je, kao i Njutn, našao da su putanje planeta elipse, ali utvrdio je da te elipse nisu stacionarne nego polako rotiraju u prostoru. Ova rotacija orbita koju je predvidela OTR je toliko mala da se za većinu planeta jedva može detektovati. Putanja Zemlje, na primer, rotira brzinom od samo 3,8 lučnih sekundi za 100 godina. Kako prav ugao ima 324.000 sekundi vidi se koliko je ta vrednost mala. Pored toga, treba da prođe 100 godina da bi se Zemljina orbita okrenula za taj iznos. Ovom brzinom trebalo bi 34 miliona godina za jedan pun obrt Zemljine orbite. Prijema ovoj teoriji orbite planeta su ustvari slične rozetama (ovako se ponašaju i elektroni oko jezgra). Kako je brzina ove rotacije mnogo mala, treba puno vremena da rozeta bude potpuna, pa se iz tih razloga uzima da su orbite planeta eliptične, a ne rozete. Ajnštajnova i Njutnova teorija gravitacije daju različite rezultate za iste pojave, pa prijema tome jedna od njih ne može da bude tačna. Razlika u vrednostima koje ove dve teorije daju je vrlo mala, pa bez obzira na to što je osnovi Njutnova teorija ne daje potpuno tačne rezultate, nju je moguće koristiti onda kada nije neophodna neka ogromna prijeciznost izračunavanja. Jedan dokaz OTR sastojao se u traganju za planetom čija orbita najviše rotira u datom vremenskom periodu. Teorija je pokazala da iznos rotacije treba da bude najveći za planete sa najvećom orbitalnom brzinom. Ali takođe je bilo potrebno da se koristi planeta čija je orbita što je moguće više eliptična, jer neke od orbita planeta, npr. Zemljina, su toliko bliske kružnim da je teško reći da li rotiraju ili ne.

Na veliku sreću desilo se da planeta Merkur ima jednu od najspljoštenijih orbita i najveću orbitalnu brzinu. Mnogo godina prije toga bilo je poznato zagonetno ponašanje orbite ove planete: imala je rotaciju od 43 lučne sekunde za 100 godina, koja se nije  mogla objasniti (ukupna rotacija orbite Merkura je približno 574 lučnih sekundi za 100 god, bilo je poznato da 531 lučnu sec. treba pripisati gravitacionom efektu drugih planeta). Godine 1845. francuski matematičar Levjerije pokazao je da ovaj višak rotacije može da bude posledica postojanja još jedne lanete između Merkura i Sunca. Astronomi su uporno

tragali za tom planetom, ali ona nije nikad nađena (Levjerije je na isti način predvideo planetu Neptun iz varijacija u orbiti Urana i ona je bila uspešno otkrivena). I Pluton je bio otkriven 1930. god kao rezultat prijeostalih varijacija orbite Urana. Sve do objavljivanja OTR uzrok viška rotacije Merkura bio je misterija. Primenom OTR za izračunavanje viška rotacije u periodu od 100 godina dobijen je rezultat od 43 lučne sekunde, odnosno tačan iznos rotacije koji ranije nije mogao biti objašnjen. Bio je to prvi i najubedljiviji dokaz OTR.

5.3  ZNAČENJE  ZAKRIVLJENOG  PROSTOR-VREMENA

Ako  se  upoređuju  samo  brojni  rezultati  koje  daju  Njutnova  i  Ajnštajnova  teorija gravitacije zaključuje se da se ove dve teorije vrlo malo razlikuju. Ali razlika u načinu na koji  shvataju  pojam  gravitacije  između  ove  dve  teorije  je  ogromna.  Za  razliku  od starinskih  Njutnovih  pojmova  o  gravitaciji  kao  sili,  Ajnštajn  je

došao na revolucionarnu zamisao da gravitacija nije sila kao druge

sile, već posledica činjenice da prostor vrijeme, nije ravan, protivno prijethodnom opštem ubeđenju : ono je zakrivljeno, ili "savijeno", pod uticajem rasporeda mase i energije u njemu. Negde daleko u vasioni, daleko od bilo kojih izvora gravitacije, prostor i vrijeme su savršeno ravni. Ali sa približavanjem nekom masivnom  objektu,  kao  što  je  zvijezda  ili  planeta  ulazi  se  u

prijedele sve veće zakrivljenosti prostor-vremena. Što je gravitaciono polje jače, tim je

zakrivljenost prostor vremena naglašenija.Tijela poput Zemlje nisu bila sazdana da se kreću zakrivljenim orbitama pod dejstvom sile teže; umesto toga, ona se kreću gotovo pravom putanjom u zakrivljenom prostoru, a ta trajektorija naziva se geodezijska linija. Geodezijska  linija  je  najkraća  (ili  najduža)  putanja  između  dve  tačke.  Primera  radi, površina Zemlje je 2-D zakrivljeni prostor. Geodezijska linija se u slučaju Zemlje naziva veliki krug i on prijedstavlja najkraći put između dve tačke. Budući da je geodezijska linija najkraća putanja između dva aerodroma, upravo je to put na koji će navigator uputiti pilota. U OTR, tijela se uvijek kreću pravolinijski u četvorodimenzionom prostor vremenu,      ali    nam  svejedno         izgleda          da  idu      zakrivljenim                    putanjama u                 našem trodimenzionom  prostoru.  (Ovo  nalikuje  na  posmatranje aviona  koji  prijeleće  prijeko brdovitog prijedela. Iako on leti pravolinijski u trodimenzionom prostoru, njegova senka klizi  zakrivljenom  putanjom  po  dvodimenzionom  tlu).  Zapravo,  glavna  ideja  koja  je osnovi OTR je da materija saopštava prostor-vremenu kako da se zakrivi, a zakrivljeno prostor-vrijeme saopštava materiji kako da se ponaša. Intuitivno svi ljudi razumeju tri dimenzije prostora. To su jednostavno tri pravca : naprijed-nazad, levo-desno, gore-dole. Međutim,  baš  kao  što  lenjir  meri  rastojanje  u  pravcima  prostora,  sat  na  ruci  meri rastojanja u vremenu.Do pojave STR rastojanje između dva različita položaja određivano je samo prijemeravanjem rastojanja, pomoću merne trake ili nekog drugog pogodnog instrumenta. Vrijeme nikada nije ulazilo u mjerenja, jer se smatralo da je isto za dve različite pozicije. Međutim STR je pokazala da to nije tako, vrijeme je različito na dva različita položaja.

Zavisno od broja dimenzija "prostora" rastojanje između dve tačke se određuje na različite načine. U jednodimenzionalnom prostoru dužina OA je samo rastojanje duž x- ose i ovo mjerenje je trivijalno lako. Za 2D prostor dužina duži OA određuje se pomoću poznate Pitagorine teoreme :

 

Kada je STR pokazala da u izraz za rastojanje mora da bude uračunato i vrijeme određivanje tačne jednačine više nije bilo lako. Matematika koja obuhvata sve poznate zakone za 2D koji čine geometriju i trigonometriju u ravni razvijana je u dugom vremenskom periodu. Ovi zakoni su postepeno proširivani na tri dimenzije, i oni se nalaze u granama matematike koje se zovu sferna trigonometrija i geometrija u prostoru. Međutim, ove grane matematike nisu se mogle nositi sa dodatnim faktorom vremena, tako da je morala biti razvijena jedna potpuno nova grana matematike, tzv. tenzorski račun, da bi se taj faktor uključio. Na taj način došlo se do formule  za rastojanje u prostor-vremenu koja u svom konačnom obliku izgleda ovako :

 

U jednačini c prijedstavlja brzinu svjetlosti, a t vrijeme. Kada je uočeno da je ovaj izraz sličan Pitagorinoj teoremi sa dodatkom faktora (ct)2, sasvim je prirodan bio zaključak da se vrijeme ponaša kao da je četvrta dimenzija, i zbog toga se često govori o prostor- vremenu, ili prostornovremenskom kontinuumu. Osnovna ideja OTR je da gravitacija zakrivljuje četvorodimenzionalno prostor-vrijeme. Naravno, za vizuelno prijedstavljanje četvorodimenzionalnog prostor-vremena bila bi potrebna nadljudska sposobnost. Naučnici su zbog toga smislili neke "trikove" koji pojednostavljuju razumevanje delovanja gravitacije.

Zamislimo jednu zvijezdu sličnu Suncu. Ta zvijezda ima veliku masu i nju okružuje jako gravitaciono polje. Zamislimo sada da iz četvorodimenzionalnog prostor-vremena oko zvijezde isečemo i izvučemo jednu dvodimenzionalnu površ. Naravno, bez ikakvih teškoća možemo da zamislimo i shvatimo dvodimenzionalnu površ, tačno znamo šta znači da je neka površ ravna a šta znači da je ona zakrivljena. Posmatranjem ove površi (koja se tačno naziva hiperpovrš prostornog tipa) možemo da shvatimo kako gravitacija deluje na deo prostora zakrivljenog četvorodimenizonalnog prostor-vremena. Ovaj postupak uzimanja hiperpovrši prostornog tipa može se uporediti sa prijesecanjem kolača da bi se video raspored slojeva. Posmatranjem dijagrama na kome je prijedstavljena ova hiperpovrš (tzv. dijagrami uronjavanja) može se primetiti da je daleko od  zvijezde prostor ravan a najveća zakrivljenost je neposredno iznad površine zvijezde gde je najjača gravitacija. Kad je Ajnštajn prvi put formulisao svoju teoriju, prijedložio je i eksperiment kojim bi se njegove zamisli mogle provjeriti. On je smatrao da će snop svjetlosti koji prolazi blizu Sunca biti skrenut sa svoje pravolinijske putanje jer je prostor kroz koji svjetlost prolazi zakrivljen. Zbog toga će likovi zvijezda biti neznatno pomjereni iz njihovih pravih pozicija. Da bi se provjerila ova prijetpostavka ustvari bilo je potrebno izmeriti težinu svjetlosnog snopa. Niko nije iznenađen činjenicom da Zemlja privlači metak ili strelu u letu. Oni imaju težinu. čak i u tetu, ali većina ljudi je iznenađena kad sazna da i svjetlosni snop ima težinu. Ovo međutim nije iznenađujuće za naučnike jer se smatra da fotoni, koji sačinjavaju svjetlost, imaju masu. Nije bilo moguće sakupiti hrpu fotona i staviti ih na vagu, kao što se može učiniti sa mecima, jer još niko nije uspeo da napravi klopku za hvatanje fotona (štaviše, danas se smatra da je masa fotona u stanju mirovanja jednaka nuli), pa se zbog toga fotoni moraju meriti dok su u letu. Ovo je vrlo jednostavno postići, ali teorijski – ako gravitaciono polje utiče na fotone, putanja svjetlosnog snopa će biti zakrivljena što je lako utvrditi ako je zakrivljenost dovoljno velika, ali ako gravitaciono polje ne utiče na fotone onda će putanja svjetlosnog snopa kroz polje biti prava linija, što se takođe lako detektuje.

Svi prijedmeti za Zemlji padnu oko 4,9 metara u prvoj sekundi slobodnog padanja (ako se zanemari otpor vazduha), pa se može očekivati da će i svjetlosni snop koji putuje paralelno sa površinom Zemlje takođe padati, tj. biti savijen ka površini Zemlje, za isti iznos tokom prve sekunde pada. Ali, svjetlosni snop putuje ogromnom brzinom tako da je praktično nemoguće otkriti ovaj efekat na Zemlji. Srećom, u Sunčevom sistemu postoji telo čije je gravitaciono privlačenje mnogo veće nego privlačenje Zemlje. To telo je Sunce. Gravitaciono privlačenje na površini Sunca je oko 27 puta veće nego na površini Zemlje, a oko 10 puta veće neo na površini Jupitera, zbog čega je Sunce najbolja "vaga" za mjerenje težine svjetlosnog snopa. Svjetlosni snop mora da dolazi sa neke udaljene zvijezde. Kada između Zemlje i zvijezde nema gravitacionih masa svjetlosni snop će se kretati pravolinijski. Ali prijetpostavimo sada da posle nekog vremena, krećući se oko Sunca, Zemlja dođe u takav položaj da sa njene površine izgleda kao da svjetlost sa zvijezde samo što ne dotiče  površinu  Sunca.  Ovde  se  javlja  veliki  problem  jer kad svjetlost zvijezde prolazi uz samu površinu Sunca,

posmatrač  neće  biti  u  stanju  da  vidi  zvijezdu  jer  je

Sunčeva svjetlost suviše jaka. Jedino rešenje je da se posmatra svjetlost zvijezde za vrijeme totalnog pomračenja Sunca, kad Mjesec totalno prijekriva Sunčevu svjetlost. Zbog toga je Ajnštajn predložio da se ovaj efekat potraži za vrijeme totalnog pomračenja Sunca. Kako je skretanje svjetlosti sa zvijezde dok prolazi uz površinu Sunca tako neznatno, neophodne su prijecizne fotografske tehnike. Postupak se sastoji u tome da se zvijezda fotografiše u odnosu na ostale zvijezde kada nema Sunca a zatim se postupak ponovi

za vrijeme totalnog pomračenja. Na toj novoj fotografiji videće se da je zvijezda malo "izmeštena" iz svog prvobitnog položaja. Ajnštajn je izračunao da bi ovakvo skretanje prividnog položaja zvijezde trebalo da iznosi 1,74 lučne sekunde. Najpovoljnije potpuno pomračenje Sunca nakon objavljivanja OTR 1916. godine, bilo je 29. Maja, 1919. godine. Ovo pomračenje je bilo posebno pogodno jer su Zemlja i Sunce krajem maja poravnati sa mnoštvom sjajnih zvijezda tako da je lako bilo izabrati  neku  od  njih  za  posmatranje tokom ovog pomračenja. Za ovu priliku oprijemljene su dve britanske ekspedicije. Jedna, pod vođstvom A.C. Kromlina, otputovala je u Sobal u sevjernom Brazilu dok je druga, pod vođstvom A.S. Edingtona otišla na zapadnoafričko ostrvo Principe  u  Gvinejskom zalivu. Obe grupe su fotografisale veliki broj zvijezda i po povratku u Englesku razvijene su fotografske ploče i upoređene sa slikama napravljenim kada Sunce nije bilo u blizini istih  zvijezda.

Grupa koja je bila u Sobralu našla je da su se njihove zvijezde pomerile u proseku za 1,98 lučnih sekundi, dok je na snimcima sa ostrva Principe nađeno pomeranje od 1,6 lučnih sekundi. Blisko slaganje ovih vrednosti sa onim što je Ajnštajn predvideo, bilo je dovoljno da potvrdi efekat. Tokom šest decenija, brižljivo ponavljanje ovog eksperimenta, kao i mnogih eksperimenata povezanih sa njim, nije ostavilo nikakve sumnje da je OTR daleko najpotpuniji, najtačniji, najelegantniji i najprijecizniji opis gravitacije koji je čovječanstvo ikada imalo.

5.4  GRAVITACIJA I VRIJEME

OTR u osnovi ne pravi razliku između prostora i vremena, prijema shvatanju OTR i prostor i vrijeme su samo posebne dimenzije u četvorodimenzionalnom prostoru, tj. prostor-vremenu, koji analizira OTR. Prijema tome, lako je zaključiti da gravitacija ne utiče, ne zakrivljuje, samo prostorni deo ovog četvorodimenzionog  prostor-vremena, nešto se mora dešavati i sa vremenskim delom. OTR predviđa da gravitacija usporava vrijeme. Daleko u prostoru, daleko od bilo kojih izvora gravitacije, gde je prostor-vrijeme savršeno ravno, časovnici otkucavaju normalnim tempom. Ali približavanjem nekom jakom izvoru gravitacije, ulaženjem u oblast sve veće gravitacione zakrivljenosti, časovnici će početi da kucaju sporije. Naravno, ako bi neki čovjek otišao na takvo

putovanje on tu pojavu neće opaziti jer i njegovo kucanje srca, njegov metabolizam, pa čak i misaoni procesi biti usporeni za isti  faktor kao  i  rad njegovog časovnika. To usporavanje toka  vremena  moguće  je  otkriti  samo  u  komunikaciji  sa  nekim  ko je ostao daleko iza, tamo u savršeno ravnom prostor-vremenu, gde vrijeme protiče normalnom brzinom. Ovakvo razmišljanje navodi na zaključak da će na planeti manje mase vrijeme proticati brže nego na onoj sa velikom masom. Na Zemlji će časovnik raditi jednom brzinom, na Jupiteru nešto sporije a na Suncu još sporije. Ajnštajn je izračunao da bi jednoj sekundi na Suncu odgovaralo 1,000002 sekunde na Zemlji. Za mjerenje ovih neznatnih razlika, bukvalno shvaćeno, trebalo bi da se stavi časovnik na Sunce, sinhronizuje sa istim takvim časovnikom na Zemlji, i potom periodično upoređuju njihova pokazivanja. Sa navedenom razlikom u vremenu, časovnik na Suncu kasnio bi jednu sekundu za časovnikom na Zemlji nakon 500.000 sekundi, što je nešto manje od šest dana. Naravno, nemoguće je postaviti časovnik na Sunce, ali to i nije potrebno jer tamo već postoje mnogo atomski časovnici. U početku su vršeni mnogi eksperimenti i bilo je mnogo pokušaja da se registruje usporenje protoka vremena na Suncu u odnosu na Zemlju, ali svi pokušaji bili su bezuspešni. Prvi uspešan eksperiment koji je potvrdio ovaj efekat izvršen je1960. godine, pet godina nakon Ajštajnove smrti, na Harvardskom univjerzitet. Eksperiment su izvršili dr Robert V. Paund i njegov asistent Glen A. Rebka. Ova dva naučnika su eksperimentu pristupila na potpuno drugačiji način. Oni su koristili toranj visok 22,6 metara. Časovnike su prijedstavljala jezgra radioaktivnog Co-57. Mjerenjem frekvencije fotona, tj. gama zraka, koji su nastajali prilikom radioaktivnog raspada ovog elementa uspeli su da dokažu da gravitacija usporava vrijeme, "časovnik" koji se nalazio bliže Zemlji radio je sporije od onog na 22,6 metara visine. Ovim je definitivno potvrđena ispravnost Ajnštajnove OTR.