Jonjić Antonio

Lokrumska 35

synmar@net.hr

 

Osijek 31000

Croatia

Jonjićeva kružnica i Jonjićev krug

　

Jonjićev krug je pravilni geometrijski lik kojeg omeđuje Jonjićeva kružnica. Jonjićeva kružnica je cjelovita linija koja omeđuje Jonjićev krug.

Kvadrat i Jonjićev krug su pravilni geometrijski likovi, koji su međusobno povezani svojim dimenzijama, odnosno sve dimenzije Jonjićevog kruga možemo dobiti iz dimenzije kvadrata i sve dimenzije kvadrata iz dimenzija Jonjićevog kruga.

Dimenzije Jonjićevog kruga i Jonjićeve kružnice su u određenom pravilnom omjeru sa dimenzijama kvadrata izražene u matematičkim konstantama.

Jonjićeva kružnica može biti izražena u zbroju dijelova jedne cijelovite linije. Veličina dijela cjelovite linije ovisi o udaljenosti između dva sijecišta na Jonjićevoj kružnici, sijecišta čine dva različita pravca koja prolaze kroz središte Jonjićevog kruga čineći određeni kut i presjecaju Jonjićevu kružnicu u dvije točke sjecišta.

 

Opseg Jonjićevog kruga

Opseg Jonjićevog kruga izražavamo sa umnoškom njegovog promjera i Jonjićevom konstantom(JA). Prikazano formulom :

O = 2r * JA

O – opseg Jonjićevog kruga

r - radijus

JA – Jonjićeva konstanta ( 3,142696805...)

Opseg Jonjićevog kruga možemo prikazati na više načina.

O = a * 4,4444444444

O – opseg Jonjićevog kruga

a – stranica upisanog kvadrata u Jonjićev krug

4,4444444... – konstanta

4,4444444444...= √2 * JA

O = Okv * 10/9

O – opseg Jonjićevog kruga

Okv – opseg upisanog kvadrata u Jonjićev krug

10/9 – ( 1,111111111...) konstanta

　

　

O = Okv : 0.9

O – opseg Jonjićevog kruga

Okv – opseg upisanog kvadrata

0,9 – konstanta

　

Da je Jonjićev krug pravilni geometrijski lik dokazujemo i njegovim rezultatskim vrijednostima.

Stranica kvadrata dijagonala kvadrata O= a4 O=2r JA

a i promjer

1 1,414213562 4 4,444444444

2 2,828427125 8 8,888888888

3 4,242640687 12 13,33333333

4 5,656854249 16 17,77777777

5 7,071067812 20 22,22222222

6 8,485281374 24 26,66666666

7 9,899494936 28 31,11111111

8 11,3137085 32 35,55555555

9 12,72792206 36 40

10 14,14213562 40 44,44444444

　

Ovi rezultati vrijednosti opsega Jonjićevog kruga su idealni i prema tome je

Jonjićev krug idealni geometrijski lik.

　

　

Površina Jonjićevog kruga

　

Površina Jonjićevog kruga se može izraziti kao umnožak kvadrata radijusa

i JA- Jonjićeve konstante.

P = (r * r ) * JA

P- površina Jonjićevog kruga

r – radijus Jonjićevog kruga

JA- Jonjićeva konstanta ( 3,142696805..)

Površinu Jonjićevog kruga možemo izraziti na više načina.

P = Pk * 1,272792206...

P – površina Jonjićevog kruga

Pk – površina kvadrata koji ima isti opseg kao i Jonjićev krug

1,272792206.. – grofova konstanta

P = a * ( d : 10/9 )

P – površina Jonjićevog kruga

a – stranica kvadrata koji ima isti opseg kao i Jonjićev krug

d – dijagonala kvadrata

10/9 – konstanta

P = a * R

P – površina Jonjićevog kruga

a – stranica kvadrata koji ima isti opseg kao i Jonjićev krug

R – promjer Jonjićevog kruga

P = a * ( d * 10/9 )

P – površina Jonjićevog kruga

a – stranica upisanog kvadrata u Jonjićev krug

d – dijagonala upisanog kvadrata u Jonjićev krug

　

　

　

Jonjićeva konstanta

Jonjićeva konstanta je konstanta koja predstavlja omjer opsega Jonjićevog kruga i

njegovog promjera. Služi za proračun svih zaobljenih geometrijskih tijela, dali je upitanju opseg, površina, volumen ili neka druga vrijednost.

Sva geometrijska tijela čije se vrijednosti dobiju upotrebom Jonjićeve konstane

ulaze u grupu Jonjićevih geometrijskih tijela.

Vrijednost Jonjićeve konstante je 3,142696805...

Ona se može izraziti formulom JA = √8 * 10/9

Može se dobiti iz dimenzija bilo kojeg kvadrata izraženo formulom

JA/4 = a : ( d : 10/9 )

JA/4 – četvrtina Jonjićeve konstante

a – stranica kvadrata

d – dijagonala kvadrata

Geometrijska konstrukcija Jonjićeve konstante

　

Nacrtamo kvadrat sa stranicom a = 10 O = 40 D = 10 * √2 = 14,14213562

Sada kada smo dobili dijagonalu D, tu istu dijagonalu podijelimo na devet jednakih

dijelova , sa 1/9 dijagonale D dobili smo polovinu Jonjićeve konstante JA/2 .

D/9 = 1,571348403... = JA/2

Zbrajanjem dvaju devetina dijagonale kvadrata dobijemo dužinu koja je iste vrijednosti kao i

Jonjićeva konstanta JA.

1,571348403... * 2 = 3,142696805...= JA

　

 

 

Kvadratura Jonjićevog kruga po opsegu

　

Kvadratura Jonjićevog kruga po opsegu je moguća. Za izračunavanje kvadrature Jonjićevog kruga po opsegu bitno je znati dvije sljedeće konstante.

Prva konstanta je 10/9 = 1,111111111 Druga konstanta je 9/10 = 0,9

Formula za izračunavanje kvadrature Jonjićevog kruga po opsegu je:

R = D : 10/9 ili R = D * 0,9

R- promjer Jonjićeve kružnice

D – dijagonala zdanog kvadrata

10/9 – konstanta

0,9 – konstanta

Definicija: Ako dijagonalu zadanog kvadrata umanjimo za deseti dio te iste dijagonale

dobijemo promjer Jonjićevog kruga čiji je opseg jednak sa opsegom zadanog kvadrata.

Geometrijska konstrukcija kvadrature Jonjićevog kruga po opsegu :

Nacrtamo kvadrat stranica a = 9 O = 36 D = 12,72792206...

Povučemo dijagonale iz kuteva i dobijemo centar Jonjićevog kruga, nacrtamo Jonjićev krug čija kružnica prolazi kroz vrhove kvadrata, vrijednost dijagonale kvadrata i promjera Jonjićevog kruga je jednaka D = R

Iz formule za opseg Jonjićevog kruga dobijamo sljedeću vrijednost:

O= R * JA = 12,72792206 * 3,142696805 = 40

　

Opseg kvadrata sa vrijednosti 40 pripada kvadratu sa stranicama a = 10

Nacrtamo kvadrat sa stranicama a = 10 oko kvadrata a= 9. Sa time smo nacrtali geometrijsku konstrukciju kvadrature Jonjićevog kruga po opsegu.

　

　

　

Kvadratura Jonjićevog kruga po površini

　

Kvadratura Jonjićevog kruga po površini je moguća. Za izračunavanje kvadrature Jonjićevog kruga po površini trebamo poznavati dvije konstante.

Prva konstanta 1,253534364.. = √JA/2 = √1,571348403

　

Druga konstanta 1,128180928..= √1,272792206..

Formule za izračunavanje kvadrature Jonjićeva kruga po površini su :

A = a * 1,253534364...

A – stranica kvadrata koji ima istu površinu kao i Jonjićev krug

a – stranica upisanog kvadrata u Jonjićev krug

D = d * 1,253534364...

D – dijagonala kvadrata koji ima istu površinu kao i Jonjićev krug

d – dijagonala upisanog kvadrata u Jonjićev krug

D = R * 1,253534364..

D – dijagonala kvadrata koji ima istu površinu kao i Jonjićev krug

R – promjer Jonjićevog kruga koji ima istu površinu kao i kvadrat

A = a * 1,128180928..

A – stranica kvadrata koji ima istu površinu kao i Jonjićev krug

a – stranica kvadrata koji ima isti opseg kao i Jonjićev krug

D = d * 1,128180928..

D – dijagonala kvadrata koji ima istu površinu kao i Jonjičev krug

d – dijagonala kvadrata koji ima isti opseg kao i Jonjićev krug

D = ( R * 10/9 ) * 1,128280928...

D – dijagonala kvadratakoji ima istu površinu kao i Jonjićev krug

R – promjer Jonjićevog kruga

Geometrijsku konstrukciju kvadrature Jonjićevog kruga po površini, možemo uraditi pomoću Jonjićevog trokuta i konstrukcije piramide Jonjićevom metodom.

　

Jonjićev trokut

Definicija Jonjićevog trokuta: Jonjićev trokut je pravokutni trokut u kojem je omjer veće katete i manje katete grofova konstanta ( 1,272792206..), a omjer hipotenuze i manje katete

Jonjićev zlatni rez ( 1,618641406..) .

Osnovni Jonjićev trokut je sljedećih dimenzija

a= 1 - manja kateta

b= 1,272792206.. – veća kateta

c= 1,618641406... – hipotenuza

Dobijanje grofove konstante √1,62 = 1,272792206...

Dobijanje Jonjićevog zlatnog reza √2,62 = 1,618641406...

　

Geometrijska konstrukcija kvadrature Jonjićevog kruga pomoću Jonjićevog trokuta:

Ako imamo kvadrat sa stranicama a = 10 O = 40 D = 14,14213562

Jonjićev krug sa istim opsegom kao zadani kvadrat O = 40 ima vrijednost promjera

R = 12,72792206 površina P = 127,2792206

Formiramo Jonjićev trokut na sljedeći način : stranica b = a * √1,62

b = 10 * 1,272792206 = 12,72792206 Površina pravkokutnika(Pp) kojeg čine dva Jonjićeva trokuta identična je površini Jonjićevog kruga

Pp = a * b = 10 * 12,72792206 = 127,2792206

c = a * √2,62 = 10 * 1,618641406 = 16,18641406

Dobijeni pravokutnik podijelimo na četiri jednaka pravokutnika, od njih napravimo kvadrat koji ima manji kvadrat u sredini. Površina tog kvadrata je veća za manji kvadrat od površine Jonjićevog kruga.

　

　

Konstrukcija piramide Jnjićevom metodom

　

Prvi način : pomoću formule iz kvadrature Jonjićevog kruga po opsegu, a to je

R = D : 10/9

Imamo stranicu baze kvadratne piramide a = 10 O = 40 D = 14,14213562

Visina piramide (Vp) je identična radijusu Jonjićevog kruga koji ima isti opseg kao i baza piramide.

R = D : 10/9 = 14,14213562 : 1,111111111 = 12,72792206

R/2 = 6,363961032 = Vp

Visinu spajamo sa kutevima kvadratne baze i dobili smo piramidu.

U konstrukciji piramide imamo tri pravokutna trokuta, koji svojim kutevima

potvrđuju prisutnost konstanti u svojoj konstrukciji.

Pvi trokut

a = 6,363961031 a- visina piramide

b = 7,071067812 b- polovina dijagoonale baze piramide

c = 9,513148795 c – greben piramide

α= 41,9872125 tan α = 0,9

0,9 – konstanta za izračunavanje kvadrature jonjićevog kruga

po opsegu

β= 48,0127875 tan β= 1,1111111111...

10/9 – konstanta za izračunavanje kvadratTure jonjićevog kruga

po opsegu

Dobijanje vrijednosti grebena piramide (Vg)

Vg = a/2 * √3,62

Vg – visina grebena

a – stranica baze piramide

√3,62 – konstanta za dobijanje vrijednosti grebena ( 1,902629759...)

Drugi trokut

a = 5 a – plovica stranice baze

b = 8,093207028 b – visina plohe piramide

c = 9,513148795 c – greben piramide

α = 58,29214214 tan α = 1,618641406

1,618641406 – jonjićev zlatni rez

β = 31,70785786 tan β = 0,617802063

0,617802063 – jednak je sin α iz tre

ćeg trokuta i upućuje na JA-jonjićevu konstantu

　

　

　

Treći trokut

a = 5 a – polovica stranice

b = 6,363961031 b – visina piramide

c = 8,093207028 c – visina plohe piramide

α = 38,15580654 tan α = 0,785674201

0,785674201 – četvrtina jonjićeve konstante JA

β = 51,84419346 tan β = 1,272792206

1,272792206 – grofova konstanta

Ovaj trokut je zanimljiv po tome što predstavlja 1/8 ( jednu osminu ) površine jonjićevog kruga koji ima isti opseg kao i baza piramide. Spajanjem četiri manja pravokutnika ( sastavljenog od dva jonjićeva trokuta) u jedan veliki pravokutnik dobili smo pravokutnik sa identičnom površinom kao i jonjićev trokut, čiji je radijus identičan visini piramide, a opseg jednak opsegu baze piramide. Ako četiri manja pravokutnika spojimo u kvadrat u sredini smo formirali mali kvadrat. Kvadrat sastavljen na taj način ima površinu uvećanu za površinu malog kvadrata u odnosu na površinu jonjićevog kruga. Ovo je geometrijska konstrukcija kvadrature jonjićevog kruga po površini pomoću konstrukcije piramide jonjićevom metodom.

Drugi način

Drugi način konstrukcije pravimo pomoću jonjićevog trokuta.

Tu možemo izvesti dvije formule pomoću kojih pravimo konstrukciju.

Vp = a/2 * 1,272792206...

Vp – visina piramide

a/2 – polovina stranice baze piramide

1,272792206 – grofova konstanta

Vpl = a/2 * 1,618641406...

Vpl – visina plohe piramide

a/2 – polovina stranice baze piramide

1,618641406 – jonjićev zlatni rez

　

Dupliranje volumena

Za dupliranje volumena geometrijskih tijela koristimo jednu konstantu, a to je treći korijen iz dva ( 1,25992105 ).

Ako želimo duplo uvećati volumen nekog geometrijskog tijela napravimo umnožak bilo koje dimenzije tog tijela i konstante za dupliranje volumena 1,25992105

Koristimo sljedeću formulu

A = a * 1,25992105

A – stranica kocke sa uduplanim volumenom

a – stranica kocke kojoj uduplavamo volumen

1,25992105 – konstanta za dupliranje volumena ili treći korijen iz dva

　

　

Jonjićeva kocka

　

　

a = √1,62 Opl = 5,091168824 Dpl = 1,8 Dpr = 2,204540769

Vk = 2,061923374

a – stranica kocke

Opl – opseg plohe kocke

Dpl- dijagonala plohe

Dpr – prostorna dijagonala

Vk – volumen kocke

Jonjićev krug koji ima isti opseg kao i ploha kocke

R = 1,62 R/2 = 0,81 Ojk= R * JA = 5,091168824

Pjk = (R/2 * R/2) * JA = 2,061923374

Vk/ Pjk = 2,061923374 : 2,061923374 = 1

Zaključak: Jonjićeva kocka je specifična po tome da je njezin volumen identičan sa površinom jonjićevog kruga čiji je opseg identičan sa opsegom plohe jonjićeve kocke.

　

　

Dupliranje volumena jonjićeve kocke

　

Stranica jonjićeve kocke a = √1,62 = 1,272792206.. Vk = 2,061923374

Stranica kocke uduplanog volumena jonjićeve kocke A = √1,62 * 1,25992105

A = 1,603617693 Vk = 4,123846748

Jonjićev krug koji ima isti opseg kao i ploha uduplane kocke

O = 6,41447077 R = 2,041072101 R/2 = 1,020536051

Pjk = 3,273099333

Vk/Pjk = 4,123846748 : 3,273099333 = 1,25992105

Kod kocke uduplanog volumena od jonjićeve kocke omjer volumena te kocke i površine jonjićevog kruga, koji ima isti opseg kao i ploha kocke uduplanog volumeena, je konstanta za izračunavanje dupliranja volumena ( treći korijen iz dva).

　

　

Konstante

　

3,142696805...= √8 * 10/9 - Jonjićeva konstanta ( JA )

　

4.44444444... = √2 * JA - konstanta za izračunavanje opsega Jonjićevog kruga

　

10/9 = 1,11111111... – konstanta za izračunavanje kvadrature Jonjićevog kruga

po opsegu, i za izračunavanje opsega Jonjićevog kruga

9/10 = 0,9 - konstanta za izračunavanje kvadrature Jonjićevog kruga

po opsegu, i za izračunavanje opsega Jonjićevog kruga

1,128180928 = √1,272792206 - konstanta za izračunavanje kvadrature jonjićevog

kruga po površini

1,253534364 = √1,571348403 - konstanta za izračunavanje kvadrature jonjićevog

kruga po površini

1,272792206 = √1,62 - grofova konstanta

　

1,618641406 = √2,62 - Jonjićev zlatni rez

　

1,902629759 - √3,62 - konstanta za izračunavanje vrijednosti grebena

piramide

1,25992105 - konstanta za izračunavanje uduplanog volumena